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飞舞的蝴蝶课程课件

线性振动
系统中构件的弹性服从胡克定律，运动时产生的阻尼力与广义速度（广义坐标的时间导数）的一次式成正比的振动。

线性系统通常是实际系统微幅振动的一个抽象模型。线性振动系统适用叠加原理，即如果在输入x1作用下，系统响应为y1，而在输入x2作用下，系统响应为y2，则系统在输入x1和x2的联合作用下的响应就是y1+y2。在叠加原理基础上，可把一个任意的输入分解为一系列微元冲量的和，然后求得系统的总响应；还可将一个周期激励经傅里叶变换，展成一系列谐和分量之和，分别考察各谐和分量对系统的作用结果，再将它们叠加起来，就得到系统的总响应。因此，常参量线性系统的响应特性可用脉冲响应或频率响应描述。脉冲响应指系统对单位冲量的响应，表征系统在时域内的响应特性。频率响应指系统对单位谐和输入的响应特性，表征系统在频域内的响应特性。两者由傅里叶变换确定对应关系。

弹性体振动

上述多自由度系统是弹性体的近似力学模型。弹性体具有无限多个自由度。两者有数量差别而没有本质差别。任何一个弹性体具有无限多个固有频率以及无限多个与之相应的主振型，而且这些主振型之间也存在着关于质量与刚度的正交性。弹性体的任何振动形态也可表示为各主振型的线性叠加。因而对于弹性体的动响应分析，主振型叠加法仍然适用（见弹性体的线性振动）。

以弦的振动为例。设单位长度质量为m的细弦，长l，两端张紧，张力为T。这时，弦的固有频率由下式确定：

f=na/2l （n=1，2，3，…），

式中，是横波沿弦线方向的传播速度。弦的各阶固有频率恰巧为基频α/2l的整数倍。这种整数倍关系导致悦耳的谐音结构。在一般情况下，弹性体各阶固有频率并不存在这种整数倍关系。

张紧弦的前三阶振型如图9所示，主振型曲线上有一些节点。在主振动中，各节点处不振动。图10给出了周边固支的圆板的几个典型振型，图上有一些由圆和直径构成的节线。

弹性体振动问题的准确提法可归结为偏微分方程的边值问题。但只有在一些最简单的情况下才能找到准确解，因而对于复杂的弹性体振动问题，不得不求助于近似解法。各种近似解法的要旨是变无限为有限，也就是将无肢多个自由度系统（连续系统）离散化为有限多个自由度系统（离散系统）。工程分析中广泛采用的离散化方法有两大类：有限元法与模态综合法。

图9 弦的振型

图10 圆板的振型

有限元法是将一个复杂结构抽象化为有限个单元并在有限个结点处对接而成的组合结构。每个单元是一个弹性体元件；单元的分布位移用结点位移的插值函数表示；再将各单元的分布参量按一定的格式集中到各个结点上去，由此得出离散系统的力学模型。

模态综合法是将一个复杂结构分解成若干个较为简单的子结构。在弄清各子结构振动特性的基础上，根据对接面上的协调条件将这些子结构合成一总体结构，然后利用各子结构的振动形态得出总体结构的振动形态。

这两种方法既有区别又有联系，可参照使用。模态综合法还可与实验测定有效地结合，构成理论与实验相结合的、关于大型系统振动问题的分析方法。

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Update time：20230318111314

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